faisons la somme de ses termes portés chacun à la puissance k. Le terme courant de cette somme est : (a+ bm) k= Xk p=0 k p! %���� b . Alors, on a : c'est-à-dire . ), mais est cependant considérée également par Nelsen comme un exemple de preuve sans mots[7]. Démonstration. - si k + IA2 = 0, l'ensemble est réduit à { I }. 3 0 obj <<
Ce cas particulier du théorème de la pizza a été montré par le calcul en 1968, mais une preuve sans mot en a été donnée en 1994[10]. L'ensemble des points M est la Propriété pj p k
.
Malgré les risques qu'elles présentent, ces démonstrations sont souvent considérées comme plus élégantes que des preuves mathématiquement plus rigoureuses[2]. - si k + IA2 > 0, l'ensemble des points M est le cercle de centre I et de rayon . L'ensemble E est donc la droite orthogonal à, . k = 1 : on a MA = MB. particulier : L'ensemble (E) des points M vérifiant la relation, Considérons un ensemble fini de n points fixes A, . Les formules donnant la somme des puissances n-ièmes des entiers consécutifs (formules de Faulhaber) peuvent être démontrées visuellement pour n = 1, 2 ou 3 ; la jolie preuve visuelle ci-dessous[4] illustre le fait que. Somme des nombres impairs. soit $\sum_{k=1}^{n}k^3$ je sais que la somme de k termes est n(n+1)/2 Associativité : le barycentre G est inchangé si l'on tel que MG, - Si K > 0 E est le cercle
+ 2 Homogénéité : le barycentre G reste inchangé si l'on
cercle de diamètre AB. (où f est une fonction continue croissante telle que f(0)=0), en interprétant les deux intégrales comme deux aires bordées par le graphe de f ; il permet même de montrer facilement que l'égalité entre les deux termes n'a lieu que si b=f(a). à (E) si et seulement si, L'ensemble Cette démonstration demande plus d'efforts au lecteur que les précédentes (il faut voir que les 4 triangles rectangles se replient vers l'intérieur du carré médian sans changer d'aire, puis utiliser l'identité Dans le second membre, on voit apparaître 3 fois la somme des carrés, plus trois fois la somme des entiers (qu'on connaît déjà) plus la somme des 1 (il y en a n+1) : Je te laisse finir. - si k + IA2 < 0, l'ensemble des points M est vide. barycentre de { (A , 1) ; ( B , k) } et G' le barycentre de { (A , 1) ; ( B , − a pb mk p En additionnant ce terme de m = 1 à m = n on trouve : Xn m=0 (a+ bm)k = ak + k p=0 k p! 0 D.M. 2 k = 3, soit trois termes. m est un entier car il est la somme de deux entiers Ainsi a 2 s'écrit sous la forme a = 2m + … 4. l'ordre des points.
nº3 : Suites CORRIGÉ TS 1 Exercice 1. de { (A, Le plan P étant rapporté à un repère. – Si n n’est pas de la forme donnée cidessus, alors il existe p = 4k + 3 premier d’exposant impair, et si n est somme de … = x a Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. La question mérite d'être posée, compte tenu de résultats manifestement absurdes obtenus par certaines preuves visuelles, comme celles que l'on trouvera dans l'article paradoxe du carré manquant, et qui reposent souvent sur des illusions d'optique. 2 Elles permettent enfin de conjecturer un résultat, sans perdre de vue la nécessité de démontrer, puisqu'il s'agit, selon George Pólya, de « d'abord imaginer, ensuite prouver »[11]. 2 a Nous avons besoin d'un point de départ (d'une astuce). c ( médiatrice de AB. a pondérés (ou massifs) l'ensemble de couples { (A. Considérons l'application de P dans V, qui , au point
Elles constituent cependant souvent, quand elles n'ont pas vocation à piéger un lecteur, une démonstration aisément accessible sans le bagage nécessaire à une démonstration rigoureuse. Somme alternée de carrés n 2 − ( n − 1 ) 2 + . barycentre de { (A, est appelée fonction scalaire de Leibniz du système (A, 0, il existe un unique point G, barycentre du système (A, On cherche Alors, on a .
) ∫ − La preuve sans mots représentée à droite[3] consiste à ajouter des bandes successives (ici, alternativement noires et blanches) formées d'un nombre impair de carreaux, pour obtenir une suite croissante de carrés, et ce indéfiniment.
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